ACOUSTIQUE GENERALITES

INTRODUCTION HISTORIQUE

        L’Acoustique ou science des sons remonte aux Grecs (Chrysippe 240 av J.C, Aristote 384-322 av J.C.). L’hypothèse que le son soit une onde émise par le mouvement d’un corps puis transmise par un mouvement de l’air. Pythagore aurait été le premier à étudier les sons musicaux (550 av J.C.). Il remarque que deux cordes à l’octave ont des longueurs double. Il donne une échelle sur les gammes musicales : la gamme naturelle de Pythagore.

Toutes ces notions apparaissent sous des formes différentes chez Vitruve qui est le premier à nous donner une définition de l’onde, VItruve architecte et ingénieur romain nous a laisser un ouvrage ou il traite de la propagation du son dans les théâtres antiques et du rôle des vases acoustiques (25 av J.C).

Après, il faut attendre le XVI^ème siècle (Renaissance). Galilée (1564-1624) : en 1638, il étudie la vibration des corps, la notion de résonance. Il établit la relation entre hauteur du son/longueur de la corde vibrante et le nombre de vibrations par seconde.

Mersenne (1588-1648) : ce moine du Mans, est tenu pour le père de l’acoustique. Il donne la loi des cordes vibrantes (f est inversement proportionnelle à la longueur de la corde) et il fait la première détermination absolue de la fréquence d’un son (1625).Boyle (1660) montre qu’il faut de l’air pour que le son se propage.

Newton (1642-1727) donne le début de la formalisation mathématique des phénomènes sonores (Principia 1686). Huygens (vers 1690) fait une synthèse des connaissances de l’époque sur les phénomènes sonores.

Le XVIII^ème siècle est très riche pour le développement de l’acoustique. D’Alembert (1717-1783), Euler (1707-1783) et Lagrange (1736-1813) établissent le formalisme définitif en développant la notion de dérivée partielle (d’Alembert, 1747) puis en jetant les bases de la mécanique analytique (Lagrange, 1759).

J. Fourier (1768-1830) physicien établit la décomposition des fonctions périodiques : tous signal périodique aussi complexe soit il est la somme d’un nombre infini de sinusoïde. Nous donne la notion de fondamentale et d’harmonique.

Helmholtz (1821-1894) a donné son nom aux resonateurs dont il a étudié les propriété. Rayleigh (1824-1919) développe la théorie de l’acoustique.

Wallace Clement SABINE poser les bases solides de l’acoustique des salles. Entre 1898 et 1915 il étudie la réflexion des matériaux et effectue des mesures sur  le temps de réverbération. Dans son ouvrage « Collected paper  of acoustics », il nous explique toute sa démarche.

                     

GENERALITES

Le son est produit par un ébranlement d’un milieu élastique, qui se transmet au milieu ambiant et qui arrive sur le récepteur . Cet ébranlement se transmet sous forme de vibrations longitudinales allant de la source vers le récepteur (ondes acoustiques). Physiquement, c’est une variation de pression locale qui se propage dans un milieu matériel élastique avec un certaine vitesse, que l’on appelle la célérité. La célérité est la vitesse de la perturbation (de cet ébranlement). Le terme vitesse sera réservé au déplacement des molécules d’air.

Pression acoustique, pression atmosphérique.

Par définition, la pression est une force exercée par unité de surface.

P = F/S en Pascal (Pa) = Newton/m²

Pression atmosphérique est considérée comme identique en tous point. Elle varie très lentement avec la météo, en moyenne : Pat =1,013 .10⁵ Pa

Pression acoustique correspondant au son, elle s’ajoute ou se retranche à la Pression atmosphérique et peut varier entre les valeurs suivantes :

2.10-⁵ Pa < Pression acoustique < 20 Pa

2.10-⁵ Pa : seuil de l’audition (0dB) et 20 Pa seuil de la douleur (120 dB)

On appelle seuil d’audition la pression acoustique minimale pouvant être détectée par l’oreille. Elle varie avec la fréquence. A 1000 Hz, fréquence de référence, elle vaut approximativement 2.10^^-5 Pa. On la note Pref. Le seuil de douleur est la pression acoustique maximale supportable. Elle varie aussi avec la fréquence mais peu. Elle vaut 20 Pa.

Période, fréquence, domaine d’audition.

Un signal est périodique s’il se répète identique à lui même au cours du temps.

 S (t+T) = S(t)        S(t) signal

La fréquence correspond au nombre de périodes par seconde, c’est à dire au nombre de vibrations complètes qui se produisent en 1 seconde. Elle s’exprime en Hertz. Les sons de fréquence basse sont perçus comme des sons graves, ceux de fréquence élevée sont perçus comme aigus.

 f=1/T    [Hz]=1/[s]

Domaine d’audition

20 Hz les infra-sons < domaine d’audition < 20000 Hz les ultra-sons.

L’oreille n’est sensible qu’aux sons dont les fréquences sont comprises entre 20 Hz et 20000 Hz environ (cela dépend des individus).

Célérité et longueur d’onde.

La longueur d’onde est la distance parcourue par l’onde pendant une période. Si T est la période temporelle, la longueur d’onde λ est la période spaciale.

λ = cT = c/f  avec c = 340m/s

c varie avec les matériaux, donc λ varie aussi. Plus le matériau est solide, plus c grand.

Dans l’eau: 1460 m.s^-1.

Dans les solides : béton, 3160 m.s^-1, verre, 5000 m.s^-1, acier, 5000m.s^-1.

Exemple, la longueur d’onde du La (440 Hz) émis par un diapason dans l’air et dans l’eau :

Longueur d’onde dans l’air : λ = c/f = 341/440 = 0,775 m soit 77,5 cm.

Longueur d’onde dans l’eau : λ = c/f = 1400/440 = 3,2 m.

La célérité varie aussi suivant les conditions du milieu. Pour l’air, c varie avec la température et on a:

c = 330,8. √(T/273) avec T en °K

Dans l’air à la température ordinaire de 18°C, elle vaut environ 340 m.s^-1. A 0°C, elle vaut 330,8m.s^-1.

c = 330,8 x √(T/273)     T en °K       273 °K = 0 °C

à 0 °C : c = 330,8 m/s

à 20 °C : c= 330,8 √(293/273) = 343 m/s

à -20 °C : c= 330,8 √(253/273) = 319 m/s

La réfraction de l’onde sonore :

On a réfraction à partir du moment où l’onde change de direction : cela peut se produit lorsque l’onde change de milieu de propagation (air/eau), mais aussi lorsque les caractéristiques de ce milieu change progressivement. L’optique géométrique est basée sur le phénomène de réfraction : lorsque la lumière entre dans le verre d’une lentille elle change de direction par réfraction, c’est la fameuse loi de Descartes.

Pour le son, un phénomène très connu est sa réfraction progressive lorsque la température de l’air n’est pas constante.La célérité étant différente comme nous venons de le voir, les longueurs d’ondes le sont aussi. Le son ne se propagera donc plus de façon rectiligne. Comme les longueurs d’ondes sont plus longue lorsque les températures sont plus élevées, le son aura tendance à monter vers les température les plus fraîches. La direction de l’onde est toujours perpendiculaire aux fronts d’onde ou plans équiphases.

Etude du domaine audiofréquence : Bande de fréquence et intervalles de fréquences

Bande c’est le domaine entre deux fréquences noté Δf = f2-f1

Intervalle : c’est le rapport entre deux fréquences noté I = f2/f1

Il existe des intervalles particuliers à connaître :

I = 10 : décade (on entend max 3 décades : 20 Hz à 20 kHz)

I = 2 : octave          I = 2^⅓  : tiers d’octave

I = 2^^1/12  : demi ton   I = 2^^{1/6 : 1/6 d’octave ou} ton

Division de l’octave en intervalles égaux et fréquence centrale

Le 1/3 d’octave

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f₁         f₀₁       f₀₂         f₂

On note I = f₂/f₁ = 2 et i l’intervalle correspondant à l’intervalle de l’octave divisé par 3.

Comme les 3 intervalles sont égaux, on doit avoir : i = f₀₁/f₁ = f₀₂/f₀₁ = f₂/ f₀₂ donc i^³ = f₂/f₁

donc i = ∛(2) = 2⅓ et on vérifie bien que i^³ = 2⅓ x 2⅓ x 2⅓ = 2

On peut faire le même raisonnement avec le 1/6e d’octave et le 1/2 T.

Définition de la fréquence centrale d’un intervalle

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f₁          f_c         f₂

f_c / f₁ = f₂ / f_c     f_c² = f₁ x f₂      et  f_c =√(f₁ x f₂)

I = f₂ / f₁  on a  f₁ = f_c /√I et  f₂ = f_c x √I

Exemple : Quelle est la fréquence centrale du domaine situé entre f1 = 100Hz et f2 = 200Hz ?

fc =  √(100 X 200) = √(2).100 = 141 Hz

Remarque on multiple par √(2) pour aller de 100 à 141 et de même pour aller de 141 à 200. √(2) caractérise le 1/2 octave.

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f₁      f_c = 100Hz     f₂

f_c = 100Hz trouver les fréquences f₁ et f₂ délimitant le domaine, pour un intervalle d »un octave :

I = 2    f₁ = f_c /√2 = 70,7 Hz et f₂ = f_c x√2 = 141 Hz

Facteur de qualité Q

Définition du facteur de qualité Q :

Q = fc/Δf

fc : fréquence centrale
Δf : largeur de bande corrigée

Etude du facteur de qualité :
fc divise l’intervalle I = f2/f1 en deux intervalles égaux donc i = fc/f1 = f2/fc =>fc = √(f1*f2)

d’autre part Δf = f2-f1  donc Q = √(f1*f2)/(f2-f1)

Application, calculons le facteur de qualité Q pour des intervalles connus :

Pour l’octave : f2=2*f1  Q = √(f1*2f1)/(2f1-f1) = √(2)*f1/f1 = √(2)

Pour deux octaves : f2 = 4*f1  Q = √(f1*4f1)/(4f1-f1) = √(4)*f₁/3f1 = 2/3

Pour le 1/3 d’octave : f2 = 2^⅓ f1  Q = √(f1*2^⅓f1)/( 2^⅓f1-f1) = √(2^⅓)*f1/((2^⅓-1).f1) = 2^1^/6/(2^⅓-1)= 4,318

Calculer Q sachant que la correction se fait entre les fréquences f1 = 61,8Hz et  f2 = 161,8Hz.

      |————–|————-|

f₁= 61,8Hz     f_c           f₂ = 161,8Hz     

On a  f_c =√(61,8x 161,8)=100Hz et Q=1

Calcul du nombre d’intervalles entre deux fréquences

Calculons le nombre de décade dans le domaine d’audition :

f2/f1 = 20000/20 = 1000 = 10^3   Il y a 3 décades.

Nombre d’Octave (i=2) : on cherche n vérifiant f2/f1 = 2^n

f2/f1=20000/20 = 1000 = 2^ⁿ

Pour trouver n il faut utiliser les logarithmes. Cependant dans ce cas, on peut remarquer que 2^¹⁰ = 1024 ≈ 1000. On a donc approximativement 10 octaves dans le domaine d’audition.

Nombre d’intervalles i compris entre deux fréquences f1 et f2

En utilisant les logarithmes (voir rappels en maths), on cherche le nombre d’intervalles n vérifiant : f₂ = i^n * f₁  soit   f₂/f₁ = i^^n.

^{En prenant le logarithme membre à membre on a:}   

                        log(f₂/f₁) = log(i^n)

                        n*log(i) = log(f₂/f₁)

                        n = (1/log(i)) * log(f₂/f₁)

Cette formule est valable quelque soit l’intervalle i.

Calculons le nombre de 1/3 d’octave dans le domaine d’audition :

i = 2^1/3 et n = (1/log(2^^1/3)) * log(20000/20)= 3/log2 * 3  ≈ 30

Il y a 30 tiers d’octave dans le domaine d’audition soit 31 curseurs sur un EQ graphique.

  Application musique

f1 = 440 Hz (La₃)  f2 = 1319 Hz  f2’ = 196 Hz : Nombre de ½ T qui séparent f1 et f2, f1 et f2’.

On cherche n vérifiant l’égalité suivante : f2 = (2^^1/12)^ⁿ * f1 soit  2^(^n/12) * f1

On cherche combien de fois on a multiplier f1 par 2^1/12 pour arriver à f2.

 f2 = (2^^/12)^n * f1= 2^n/12 * f1

1319 = 2^(n^/12) * 440 soit log(1319/440)= log(2^(^n/12))

            (n/12) * log2 = log(1319/440)

            n =(12/log2) * log(1319/440) = 19 demi-tons

On cherche n vérifiant l’égalité suivante : f2′ = (2^1^/12)^n * f1   196 = 2^(^n/12)* 440

            (n/12) * log2 = log(196/440)

            n = (12/log2)*log(196/440) = -14 demi-tons

 A quelles notes de musiques correspondent f2 et f2’ ?

f2 : 19 ½ T au dessus : 1 octave et 7 ½ T (quinte) au dessus : La3->La4->Mi5

f2’ : 14 ½ T en dessous : 1 octave et 1T en dessous : La3 -> La2 -> Sol2

Texte chris_luck 2009