ACOUSTIQUE ISTS1

 

  CETTE PAGE EST EN CONSTRUCTION  

Publication rentrée 2022.

Calculez les fréquences situées 1/3 d’octave et 2/3 d’octave au dessus de 1000Hz.
Calculez les fréquences situées 1/3 d’octave et 2/3 d’octave en dessous de 1000Hz.
Est-ce que ces valeurs correspondent exactement à celle de l’EQ graphique ?
21/3  ≈ 1,259
1000 x 2^1/3 = 1259 Hz ≈ 1,25kHz
1000 x 2^2/3 = 1587,4Hz ≈ 1,6kHz
1000 x 2^3/3 = 2000Hz ou 2kHz
1000 x 2^-1/3 = 793,7 Hz ≈ 800Hz
1000 x 2^-2/3 = 629,9Hz ≈ 630Hz
1000 x 2^-3/3 = 500Hz
Ces valeurs ne correspondent pas exactement aux valeurs affichées sur l’EQ graphique. Les valeurs affichées correspondent à la norme ISO.

En partant de la fréquence du La3, calculez les fréquences des notes situées ½ ton 2 x ½ ton et 3 x ½ ton au dessus et ½ ton 2 x ½ ton et 3 x ½ ton en dessous. Ces fréquences correspondent-elles au tableau donné en cours ?

2^1/12  ≈  1,059
440 x 2^1/12 ≈ 466,2 Hz
440 x 2^2/12 = 440 x 2^1/6 ≈ 493,9 Hz
440 x 2^3/12 = 440 x 2^1/4 ≈ 523,3 Hz
440 x 2^-1/12 ≈ 415,3 Hz
440 x 2^-2/12 = 440 x 2^-1/6 ≈ 392,0 Hz
440 x 2^-3/12 = 440 x 2^-1/4 ≈ 370,0 Hz

Rappels Mathématique

a^n x a^m = a^(n+m)               (an)^m = a^(n x m)

Exemple 2/3 d’octave et 3/3 d’octave :

2^1/3 x 2^1/3 = 2^(1/3 + 1/3) = 2^2/3
2^1/3 x 2^1/3 x 2^1/3 = 2^(1/3 + 1/3 + 1/3) = 2^3/3 = 2

Exemple 2 ton, 3 ½ ton et 4 ½ ton :

21/6 x 21/6 = 2(1/6 + 1/6) = 21/3
21/12 21/12 21/12 = 23/12 = 21/4    soit 1/4 d’octave
21/12 21/12 21/12 21/12 = 24/12 = 21/3     soit 1/3 d’octave

A vous de compéter l’égalité et de trouver le résultat.

f = 2^1/3 x 2^1/3 x2^1/3 2^1/3 2^1/3 2^1/6 2^1/6 x 440 = 2^…/3 2^…/6 x 440 =………
f = 2^1/3 21/3 21/3 21/3 21/3 21/6 21/6 x 110 =………………..

(F /100) = (200/ F)
=>  F = (100 x 200)/ F
=> F² = (100 x 200)
=>  F = √(100 x 200)
=>  F = √2 x √(100 x 100)
=>  F = √2 x 100 = 141 Hz

Correction

1/ Δf = Fc / Q = 200/3 = 66.7Hz   et   Δf = Fc / Q = 200/20 = 10Hz   c’est vérifié.

2/ Fc = √(169×235) =200Hz  et   Fc = √(195×205) =200Hz   c’est vérifié.

3/ On considère une fréquence centrale de 200Hz. On apporte une correction autour de cette fréquence en utilisant un EQ paramétrique. On choisit un facteur Q=0.25. On veut calculer les fréquences f1 et f2 qui délimitent le domaine de correction.

Pour exprimer Q en fonction de I. On note  I=f2/f1  => f2 = I x f1

Q = √ (f1xf2)/(f2-f1) = √ (f1xIxf1)/(Ixf1-f1) = √ I x f1/(I-1)xf1

Ce qui donne  l’expression de Q en fonction de I :  Q = √ I/(I-1)

On cherche l’intervalle I correspondant au facteur de qualité Q = 0.25

√ I/(I-1) = 0.25 => √ I = 0.25 x (I-1) => I = 0.25² x (I-1)² => I = 0.25² x (I²- 2I +1)

=> I²- 2I +1 = I/0.25²  => I²- (2 + 1/0.25²)I +1 =0  => I²-18 x I +1 =0

Il faut résoudre cette équation du second degré.

Δ = 18² – 4 > 0  et les solutions sont

I1 = (18 + √(18² – 4 )) /2  = 17.94   et   I2 = (18 – √(18² – 4 ))/2  = 0.055

Seule la solution I = I1 = (18 + √(18² – 4 ))/2  = 17.944   est acceptable, ce qui correspond à un peu plus que 4 octaves. La deuxième solution est >1 or f2 >  f1 donc I>1

 

CORRECTION Exercice : Gamme et fréquence

A
1 On note i le rapport correspondant à 1/12 d’octave.
Ce rapport multiplié 12 foi par lui-même doit me donner 2.
Donc  i^¹² = 2  à i = 2^^1/12
Et on calcule  2^^1/12 = 1,0595
2
De même si on note i le rapport correspondant à 1/6 d’octave.
On doit avoir i^⁶ = 2  donc i = 2^^1/6
Et on calcule  2^^1/6  = 1,1225
On pouvait aussi dire que un ton vaut 2 demi-tons :
2^^1/12 x 2^^1/12 = 2^^2/6 = 1,1225

3  f_la4 = 2 x 440 = 880 Hz
f_si = 2^^1/6 x 440 = 493,9 Hz
f_sib = 2^^1/12 x 440 = 466,2 Hz

B
1  On note i_c le rapport correspondant à 1/12 d’octave.
On doit avoir i_c^⁵³ = 2  donc i_c = 2^^1/53 = 1,0132

2
½ ton diatonique = 4 commas  2^^1/53x2^^1/53x2^^1/53x2^^1/53= 2^^4/53 = 1,0537
½ ton chromatique = 5 commas  2^^5/53 = 1,0676
1 ton = ½ ton diatonique + ½ ton chromatique = 9 commas
2^^4/53 x 2^^5/53 =  2^^9/53 = 1,1249
3
5 Ton (9 commas) + 2/2 Ton diatonique (4 commas) = 1 Octave
2^^9/53 x 2^^9/53 x 2^^9/53 x 2^^9/53 x 2^^9/53 x 2^^4/53 x 2 ^4/53 = 2
(2^^9/53)^⁵ x (2^^4/53 )^² = 2
4
On sait que  pour ½ ton diatonique i = 2^^4/53
On sait que  pour ½ ton diatonique i = 2^^5/53
On sait que  pour 1 ton = 2^^9/53

f_sib = 2^^4/53 x 440 = 463,6 Hz
f_la# = 2^^5/53 x 440 = 469,7 Hz
f_sib = 2^^9/53 x 440 = 495,0 Hz

5
La fréquence du la# est plus haute que celle du sib ce qui correspond à ce qui était attendu par le musiciens.

On constate que le ½ ton de la gamme tempérée est entre le demi-ton diatonique et le demi-ton chromatique. On a trouvé la fréquence de 466,2Hz à la question A3 et :
463,6 Hz < 466,2Hz < 469,7 Hz

Le ton pour la gamme de Mercator et légèrement plus grand que dans la gamme tempérée. Cela s‘explique car les demi-tons diatoniques selon sont plus petits que le demi-ton de la gamme tempérée.
1,1225 <1.1249