Fonction sinusoidales Ondes progressives

 

ONDES PROGRESSIVES

Rappels sur la fonction sinusoïdale

    

Un signal sinusoïdal est un signal dont l’amplitude est une fonction sinusoïdale du temps. Son expression est :

s(t) = Â . cos(ωt +φ)  où :

• Â = √(2)*A                amplitude de crête (A : valeur efficace)

• ω = 2∏f = 2∏/T       pulsation en rad.s^-1
• φ                              déphasage pour t=0

cos θ : périodique : cos(θ+2∏) = cosθ

-1 < cosθ < +1 donc -Â < s(t) < Â

L’oscilloscope permet de visualiser des variations de tension sinusoïdale. On doit régler la fréquence de balayage. Déphasage entre deux fonction et figures de Lissajoue.

Déphasage temporel. 

s(t) = Â . cos(ωt + φ)   et   s(t+∆t) = Â . cos(ω(t+∆t)  + φ)

Déphasage : ∆φ = 2∏ * ∆t/T  

On peut aussi soustraire les phases pour trouver le déphasage :

∆φ = (ω(t+∆t)  + φ) – (ωt + φ) = ω(∆t) = 2∏ * ∆t/T

note 1: φ représente le déphasage par rapport à t=0

note 2: On peut utiliser aussi le sinus : s(t) = Â . cos(ωt + φ) = Â . sin(ωt + φ + ∏/2)

Phénomène de battement

On a un phénomène de battement lorsque l’on a une superposition de deux signaux ayant des fréquences très proches l’une de l’autre. On considère deux fonctions sinusoïdales de fréquences voisines f₁ et f₂ . ϕ(x) est un déphasage dû à la position : il n’intervient pas dans le calcul.

s₁(M,t) = A.cos (2πf₁t – ϕ(x))

s₂ (M,t) = A’.cos (2πf₂t – ϕ(x))

On considère A’=A, principe de superposition : ondes s’additionnent

s_T (M,t) = s₁ (M,t) + s₂ (M,t) = A[cos(2πf₂t – ϕ(x)) + cos(2πf₂t – ϕ(x))]

s_T (M,t) = 2Acos(2π(f₁ – f₂)/2 + (ϕ(x) – ϕ(x))/2) x cos(2π (f₁ + f₂)/2 – (ϕ(x)+ϕ(x))/2)

S_T(M,t) = 2Acos(2π(f₂-f₁)/2) x cos(2π(f₁+f₂)/2)

On a une amplitude qui varie à la fréquence de (f₂-f₁)/2 ; fonction sinusoïdale dont la fréquence est la moyenne des deux fréquences départ.

Exemple : f₁ = 440Hz   et    f₂ = 442 Hz

L’amplitude varie à la fréquence de (f₂-f₁)/2 = 1Hz.

La nouvelle fréquence moyenne soit (f₁+f2)/2 = 441Hz.

 

ONDE PROGRESSIVE

         Document de Vitruve (XVe s.) « Cette voix s’en va tournoyant comme d’infinis cercles tout ainsi que comme on jette une pierre dans une eau dormante» (fig). «Il en est des ondulations de la voix comme de celle de l’eau, à la différence qu’elle monte et s’élève par degrés.» Vitruve

Définition de l’onde :

c’est la propagation de la perturbation généralement périodique d’un des éléments du milieu (pression champ électrique) sans qu’il y ait déplacement de celui-ci. Cette notion est venue en fait que tardivement. Ce n’est pas la définition exact de Vitruve, mais il en avait déjà la notion.

Expression de l’onde et représentation spaciale et temporelle.

A l’origine : s(O,t) signal quelconque (sinusoïdal ou triangulaire)

Au point M(x), on retrouve la même perturbation qu’en S mais avec un retard   ∆t = OM/c = x/c

s(M,t) = s(0, t-x/c)

Pour un signal sinusoïdal. s(O,t) = a cos ωt.

On retrouve au point M(x), la même perturbation qu’en S₁ mais avec un retard   ∆t = OM/c = x/c

S₁ (M,t) = a cos ω(t – x/c)

On a une représentation temporelle :s(M,t)  M fixé et t variable. Par exemple en 0 : s(0, t). Si la fonction est périodique on a une périodicité temporelle T.

On a une représentation  spatiale :s(x,t)  t fixe et x variable. On « prend une photo » de la perturbation à un moment donné.C’est une fonction qui se répète identique à elle même dans l’espace. On a une périodicité spaciale λ.

Nombre d’onde

S₁ (M,t) = a cos ω(t – x/c) = a cos (ωt – (ω/c)x)                    

On introduit un nouveau paramètre k appelé nombre d’onde.

On pose : k = ω/c = 2∏f/c soit k = 2∏/λ et on peut écrire :

S₁ (M,t) = a cos (ωt – kx) 

k est l’équivalent spatial de la pulsation : on a une analogie avec la pulsation : k = 2∏/λ  et  ω = 2∏/T

Déphasage spaciale : le terme kx représente le déphasage spaciale par rapport à l’origine. Entre deux points quelconques si on note ∆x=x₂-x₁ différence de marche on a l’expression du déphasage :

∆ϕ=2π∆x/λ.

Si ∆x= nλ on est en phase, si ∆x=(2n+1)λ/2 on est en opposition de phase. Voir le dessin ci-dessus.

Déphasage entre deux ondes progressives

En M₁ : P(x₁,t)=P(x₁).cosω(t-∆t)=P(x₁).cos(ωt- x₁.ω/c)=P(x₁).cos(ωt-kx₁)

En M₂ : P(x₂,t)=P(x₂) .cos(ωt-kx₂)

Le déphasage entre les points M₁ et M₂.

∆ϕ= /(ωk-kx₂) – (ωt + kx₁)/ = k(x₂-x₁) = 2∏/λ * (x₂-x₁) = 2∏/λ * ∂

on note ∆x=x₂-x₁ différence de marche et on a : ∆ϕ=2π∆x/λ

On considère une onde directe et une onde réfléchie dans l’espace. On note d la distance directe et r la distance réfléchie.

P_d (M,t) = P_D(M)cosω(t-∆t)  ∆t=d/c

P_d (M,t) = P_d(M)cos(ωt-kd)  et P_r (M,t) = P_r(M)cos(ωt-kr)

∆ϕ=/(ωt-kr)-(ωt-kd)/= k(r-d) = 2π(r-d)/λ  et  ∆ϕ=2π∂/λ  avec ∂=r-d différence de parcours de l’onde dans l’espace.

Si les ondes arrivent en phase il y aura amplification du son si elles arrivent en opposition de phase atténuation. on observe un filtrage en peigne. (sera étudier dans un autre chapitre)

ONDE PROGRESSIVE ALLANT DANS LE SENS POSITIF OU NEGATIF

• M se trouve dans la partie x>0

1. Onde allant dans le sens (+) :

On retrouve la même perturbation qu’en S₁ mais avec un retard   ∆t =  x/c

S₁ (M,t) = a cos ω(t – x/c) = a cos (ωt – kx)                     k = ω/c

1. Onde allant dans le sens  (-) :

On retrouve la même perturbation qu’en 0, mais avec une avance ∆t = x/c

S₂ (M,t) = a cos ω(t + ∆t) = a cos ω(t +x/c) = a cos(ωt + kx)

• M se trouve dans la partie x>0

1. L’onde va dans le sens (+)

On retrouve la même perturbation qu’en 0 mais avec une avance ∆t = /x/ /c

s₁ =(M,t) = a cos ω(t+∆t) = a cos (ωt + ω . /x/ /c )

Or pour x1(M,t) = a cos (ωt – kx)

1. L’onde va dans le sens (-)

On retrouve la même perturbation qu’en 0 mais avec un retard ∆t = /x/ /c
s₂ (M,t) = a cos ω(t – ∆t) = a cos(ωt – ω. /x/ /c)

Or pour xs₂ (M,t) = a cos (ωt + kx)

D’une façon générale, toute onde progressive peut s’exprimer avec :

S (M,t) = a cos (ωt ± kx + φ) avec k = 2∏/λ

chris_luck 2009

ondesprogressivesbts2002.pdf

APPLICATION ONDE PROGRESSIVE DEPHASAGE

Une onde sonore sphérique se propage dans l’air. L’air sera assimilé à un milieu non dissipatif : pas de perte. On considère uniquement la dissipation géométrique.La source est omnidirectionnelle et a une puissance P_w de 10 mW.

On place deux microphones M1 et M2 à une distance d et d + Δd de la source. Les micros ont une efficacité de 10 mV/Pa

Au départ, la fréquence émisse par la source est de 85 Hz et de la forme P cos ( ω t ).

1/  Donnez l’expression du niveau d’intensité en fonction du niveau de puissance.

2/ Montrez que le niveau d’intensité de la source en M1 à 10 m est de 69 dB SL.

3/ Calculez le niveau d’intensité de la source en M2 pour Δd = 1 m.

On note λ la longueur d’onde.

4 / Donnez l’expression du déphasage entre M1 et M2 en fonction de Δd et de λ. Calculez λ et calculez le déphasage entre M1 et M2.

5/ Calculez les pressions acoustiques efficaces reçues respectivement par les micros M1 et M2.

6/ Montrez que le signal arrivant en M1 et M2 respectivement est de la forme :

S (M₁, t ) = P₁ cos ( ω t – Φ₁(x) )     et     S (M₂, t ) = P₂ cos ( ω t – Φ₂(x) )

Calculez P₁, P₂, Φ₁(x)  et Φ₂(x).

7/ Calculez les tensions de sorties efficaces émises respectivement par les micros M1 et M2.

A la fréquence de 85 Hz s’ajoute une fréquence 87 Hz. On considèrera que les amplitudes sont identiques. On a donc à la source deux signaux de la forme  P cos ( w1 t ) et P cos ( w2 t ).

8 / Quel est le nom du phénomène observé ?

9 / Quel est la fréquence du signal résultant ?

10 / Quel est la valeur de l’amplitude résultante : donnez son expression littérale. Comment varie-t-elle au cours du temps ?

11 /  Donnez les nouvelles expressions S (M₁, t ) et S (M₂, t ) aux point M₁ et M₂

Note : cos p + cos q = 2 cos[( p+q )/2].cos[( p-q )/2]

chris_luck 2010

Les solutions sont données en cours