ONDE PROGRESSIVE MODES PROPRES TUYAU SONORE
TUYAU SONORE ET ONDE PROGRESSIVE
Un tuyau d’axe Ox de longueur indéfinie contient de l’air dans lequel le son se propage par ondes planes avec la célérité c = 340 m/s. Dans ce tuyau sont placées deux sources sonores :
S1 coïncide avec l’origine O de l’axe, S2 est sur l’axe Ox et a d’abord pour abscisse x2 = – 0,875 m.
Les deux sources sonores sont en phase et émettent un son pur de fréquence 680 Hz qui se propage selon les x positifs.
1 / La vibration émise par S1 a pour expression s1 (t, 0) = a cosωt au point 0. Donnez son expression au point M (x).
2 / De même, la vibration émise par S2 a pour expression s2 (t, x2) = a cosωt au point d’abscisse x2. Donnez son expression au même point M (x).
3 / Donnez l’expression de la vibration résultante au point M (x). Vous devez déterminer son amplitude en fonction de a et sa phase. Quelle est la nature de l’onde résultante ?
4 / On déplace S2 sur l’axe Ox. Sa nouvelle abscisse x2 = – 0,750 m. Que se passe-t-il ?
S2 est maintenant en x2 = – 0,5 m puis x2 = – 0,51 m, déterminez l’amplitude et le déphasage de la vibration résultante.
On ne considère maintenant que la source S1 dans ce tuyau. S1 coïncide avec l’origine O. Cette source émet deux fréquences très proches F1 = 680 Hz et F2 = 678 Hz.
5 / Donnez d’abord en à l’origine O, l’expression de la vibration résultante en fonction uniquement du temps t et de w1, w2.
Quel est le phénomène observé ?
6 / On se place maintenant au point M (x).
Donnez l’expression de la vibration correspondant à la première fréquence. Déterminez k1.
Donnez l’expression de la vibration correspondant à la deuxième fréquence. Déterminez k2.
Donnez alors l’expression de la vibration résultante en M (x) en fonction du temps t et de l’abscisse x et de k1, k2 ,w1,w2.
Analysez l’expression obtenue.
Exos de Chris_luck 2008
Réponse :
1) Au point 0, s1 (t,0) = a cos(ωt) et on retrouve la même perturbation qu’à la source mais avec un retard ∆t = x/c donc s1 (M,t) = a cos(ω(t-x/c))= a cos(ωt – 2πx/λ)
comme λ = c/f = 340/680 = 0,5 m on peut dire que s1 (M,t) = a cos(2π680t – 4πx)
2) ∆t= (x+0,875)/c
s2 (M,t) = a cos(ω(t – (x+0,875)/c)) = a cos(ωt – 2π(x+0,875)/λ) = a cos (ωt – 4πx – 2π(0,875/λ)) = a cos(2π680t – 4πx – 7π/2) On remarque que pour tous point M(x) s1 (M,t) et s2 (M,t) sont en quadrature de phases.
3) sT (t1M) = a (cos(2π680t-4πx)+cos(2π680t-4πx-7π/2))
cos p + cos q = 2 cos((p-q)/2)* cos((p+q)/2)
sT (t1M) = a√2 * cos (2π680t-4πx-7π/4) c’est l’expression d’une onde progressive allant dans le sens +
4) – Une longueur d’onde et demi, donc les ondes sont en oppositions de phase en tout point.
- Si S2S1 = λ, la différence de marche ∆x = λ
S1 (M,t) = a cos(ωt – 2πx/λ)
S2 (M,t) = a cos(ωt – 2π/λ(x+∆x)) = a cos(ωt – 2πx/λ – 2π) = a cos(ωt – 2πx/λ) = S1 (M,t)
Principe de superposition, les ondes s’additionnent : ST (M,t) = 2S1 (M,t) l’amplitude est doublée.
- Si S2S1 = 0,51, la différence de marche ∆x = 0,51
S2 (M,t) = a cos(ωt – 2πx/λ – 2π∆x/λ= a cos(ωt – 2πx/λ – 2π.0,51/0,5)
Principe de superposition : S1(M,t) + S2 (M,t) = 2a cos( 0,51π/0,5) x cos(ωt – 2πx/λ – 0,51π/0,5)
A= 2a cos(0,51π/0,5) ≈ 2a cosπ ≈ -2a
L’amplitude est presque doublé, et déphasage très faible entre les deux fonctions.
5) On va observer un phénomène de battement : l’amplitude du signal résultant varie selon une fréquence très faible appelée fréquence de battement. Fb = f2 – f1
S1 (0,t) = a cos(2πf1t + φ) = a cos(ω1t + φ) et S2 (0,t) = a cos(ω2t + φ)
S1 et S2 vibrent en phase φ = φ’ = 0 et f1 = 680 Hz f2 = 678 Hz ω1>ω2
S1 (0,t) + S2 (0,t) = a [cos ω1t + cos ω2t] avec cos p + cos q = 2cos (p-q)/2 x cos (p+q)/2
S1+S2 = 2a cos(ω1 – ω2)t/2 x cos (ω1+ω2)t/2
2a cos 2π(680 – 678)t/2 = 2a cos 2π.679.t : on a une fréquence de battement de 1Hz.
6) On retrouve en M la même perturbation qu’à la source mais avec un retard ∆t = x/c
ST = 2a cos[(ω1 – ω2)/2 (t – x/c)] x cos[(ω1 + ω2)/2 (t – x/c)]
On pose W1 = (ω1-ω2)/2 et W2 = (ω1 + ω2)/2 ; On pose K1 = W1/c et K2 = W2/c
ST (M,t) = 2a cos(W1t – K1x) cos(W2t – K2x)
L’onde de pulsation ω1.
S1 (0,t) = a cos(ω1t) et on retrouve en M même perturbation mais retard ∆t = x/c
S1 (M,t) = a cos(ω1(t – x/c) = a cos(ω1t – k1x) avec k1=ω1/c
L’onde de pulsation ω2, idem : S2 (M,t) = a cos(ω2t – k2x) avec k2 = ω2/c
Superposition : S1 + S2 = 2a cos[(ω1 – ω2)t/2 – (k1 – k2)x/2] x cos[(ω1+ω2)t/2 – (k1+k2)x/2]
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SUPERPOSITION DE DEUX ONDE PROGRESSIVES ALLANT DANS LE MÊME SENS.
On considère deux sources omnidirectionnelles S1 et S2 de même puissance Pw de 10 mW.
On place un microphone en M à une distance d de la source.
La fréquence émisse par la source est de 170 Hz et le signal est de la forme P cos ( ω t ).
1/ Calculez les niveaux d’intensités au point M pour le son venant de la source1 puis de la source2. On donne d = 10 m et Δd = 1,5 m.
On note λ la longueur d’onde.
2 / Donnez l’expression du déphasage entre M1 et M2 en fonction de Δd et de λ. Calculez λ et calculez le déphasage entre les ondes venant de S1 et S2.
3/ Montrez que les signaux arrivant en M sont respectivement de la forme :
S1 (M, t ) = P1 cos ( ω t – Φ1(x) ) et S2 (M, t ) = P2 cos ( ω t – Φ2(x) )
Calculez Φ1(x) et Φ2(x).
Pour simplifier les calculs on posera considère que P1 = P2 = P
4/ En appliquant le principe de superposition donnez l’expression de l’onde résultante. Est-ce une onde progressive ? Montrez que la nouvelle amplitude vaut √2.P
Textes et exos de Chris_luck 2008.
ondesprogressivesbts2002.pdf
