ONDES STATIONNAIRES

Une onde stationnaire résulte généralement de la superposition de deux ondes progressives se propageant en sens inverses : elle peut être engendrée par la réflexion d’une onde progressive sur un obstacle.

On n’observe aucune progression particulière, l’onde stationne sur place : ainsi ce phénomène est appelé onde stationnaire.

 En travaillant à l’aide d’un stroboscope, on observe un ensemble de points immobiles, appelés nœuds de vibrations ; et un ensemble de points ayant des amplitudes maximum appelés ventres de vibration. Les ventres font des va et vient de haut en bas à la fréquence de l’onde.

Interprétation graphique onde progressive aller, onde progressive retour

 

Pour les points situés à λ/2, 2λ/2, 3λ/2, nλ/2 de la paroi, la différence de marche entre l’onde aller et l’onde retour est égale à : ∂ = n λ. En effet la perturbation doit faire un aller retour donc deux fois la distance. L’onde aller et l’onde retour sont donc en phase : on a un ventre de pression.

Pour les points situés à λ/4, 3λ/4, 5λ/4, (2n+1)λ/4 de la paroi, la différence de marche entre l’onde aller et l’onde retour est égale à : ∂ = (2n+1) λ/2. En effet la perturbation doit faire un aller retour donc deux fois la distance.L’onde aller et l’onde retour sont en opposition de phase : on a un noeud de pression.

Onde stationnaire résultant de la réflexion de deux ondes progressives.

On considère une source au point O (x=0) et une paroi en L. On cherche a exprimer l’onde progressive aller et l’onde progressive retour au point M(x).

Onde progressive aller : on retrouve au point M la même perturbation qu’à la source mais avec un retard ∆t = x/c

•  s(M,t) = a cos(ωt – kx) = a cos ω(t – x/c)    avec k=ω/c = 2π/λ

Onde progressive retour : On retrouve au point M la même perturbation  qu’à la source mais avec un retard ∆t = (2L – x)/c

•  s’(M,t) = a cos ω(t – (2L-x)/c)   avec k=ω/c = 2π/λ

Principe de superposition :

S_T(M,t) = s(M,t) + s’(M,t) = a [cos (ωt – kx) – cos (ωt – k(2L-x)/c)]

cosp + cosq = 2 cos(p-q)/2 x cos(p+q)/2

                                           = 2a cos k(L – x) x cos(ωt – kL)

• 2a cos k(L – x) correspond à l’enveloppe et ne dépend que de la position x

• cos(ωt – kL) correspond à une fonction sinusoïdale donnant la position instantanée qui ne dépend que du temps t.

Analyse de l’enveloppe et position des nœuds et des ventres

• 2a cos k(L – x) = 0  -> 2π/λ (L – x) = (2n+1) π/2   -> (L – x) = (2n+1) λ/4

On cherche les positions x pour les quelle l’amplitude est nulle. Ce sont les noeuds de vibration. Les nœuds de vibrations se trouvent à (2n+1) λ/4 de la paroi. (où n est un nombre entier)

• 2a cos k(L – x) = +/-2a  – > 2π/λ (L – x) = n π   -> (L – x) = n λ/2

On cherche les positions x pour les quelle l’amplitude est max. Ce sont les ventres de vibration. Les ventres de vibrations se trouvent à nλ/2 de la paroi.

Corrigé des exercices donnés en cours.

1. λ = c/f = 340/1000 = 0,34 m

2. A une onde de pression, on associe une onde de vitesse. En chaque point on considère la valeur de la vitesse de déplacement des molécules d’air.

L’onde de vitesse et l’onde de pression sont en quadrature de phase.

Au point de réflexion, on a un nœud de déplacement, ventre de pression.

3. Un microphone captera au point O un niveau maximum.

4. Au point M, on a la superposition de deux ondes progressives aller et retour.

Onde aller

On retrouve la même perturbation qu’à la source (au point A) mais avec un retard

∆T + (l-|x|)/c -> s(M,t) = a.cos(ωt-kx)

Onde progressive : phase dépendante de t et de x.

Onde stationnaire : amplitude dépend de x.

ONDES STATIONNAIRES SUR UNE CORDE

  Une onde stationnaire sur une corde est produite grâce aux réflexions aux extrémités. Si une extrémité de la corde est fixe, l’onde stationnaire doit avoir un noeud de vibration à cette position. on devra tenir compte de cette condition aux limites.

On considère deux ondes qui interfèrent avec même amplitude, même vitesse, même phase, mais sens opposés.

y1 = A cos ( wt – kx)
y2 = A cos ( wt + kx)

y = y1 + y1 = 2A sin (kx) x sin (wt)

2A sin (kx) représente l’enveloppe

Points particuliers : – noeud = pas de mouvement, ventre = mouvement maximal

Points particuliers : – noeud = pas de mouvement, ventre = mouvement maximal.

Pour plus de précisions et l’animation de l’onde stationnaire voir le site suivant :

http://www.glafreniere.com/ondes.htm

  Cliquez ici

Animation java de l’onde stationnaire proposée par l’université de Bourgogne.
Attention pour l’onde de pression les conditions aux limites sont différentes qu’avec la corde vibrante.

Epreuve du BTS session 2002

ondesstationnairesbts2002.pdf

APPLICATION EXPERIENCE DE MELDE

Une corde de longueur L est fixée, en A, à une lame vibrant à la fréquence de 25 Hz. Elle est tendue en B grâce à une poulie : la tension est égale à 1 Newton. Sa masse linéique est u = 16 10-4 Kg.m-2.

On rappelle que la célérité des ondes sur une corde est c = T / u
La longueur de la corde est L = 1,5 m
La vibration émise par la lame vibrante en A, a pour expression S1 (A , t) = a coswt

1 / Donnez l’expression de l’onde progressive incidente (aller) au point M en fonction de A, w, t, c et de la position de M. Note : on peut choisir de positionner M par rapport à la poulie B, ou par rapport à la lame vibrante A.

2 / On rappelle que la condition aux limites impose un nœud de vibration au niveau de la poulie. Quelle conséquence cela aura sur l’onde retour ?

3 / Donnez l’expression de l’onde progressive réfléchie (retour) au point M en fonction de A, w, t, c et la position de M.

4 / En reprenant l’expression de l’onde progressive aller et l’expression de l’onde progressive retour déterminez l’expression de l’onde résultante au point M.

5 / En réalité, des réflexions multiples se produisent en A et B. Pour quelles valeurs particulières de L obtient-on un phénomène stable ?

6 / Le point M est situé à 50cm de la poulie Quelle sera l’amplitude de vibration au point M ?

7 / De quelle distance minimale du point M obtient-on une vibration maximum (ventre ) ?

8 / On multiplie la tension par 9. Décrire l’aspect de la corde.

On donne
cos p + cos q = 2 cos( p+q )/2.cos( p-q )/2.
cos p – cos q = -2 sin( p+q )/2.sin( p-q )/2.

La correction est donnée en cours !

Exercice chris_luck 2008

DOCUMENT PDF SUR L’ONDE STATIONNAIRE :

Onde stationnaire document pdf