Cordes vibrantes : expérience de MELDE

CORDE VIBRANTE EXPERIENCE DE MELDE

On peut considérer deux cas pour la corde vibrante :

-> L’oscillation libre : La corde est soumise librement à des oscillations, c’est le cas des instruments de musique (violon, guitare, … ) En déplaçant la corde de sa position d’équilibre on a crée une perturbation et il y a apparition d’une onde stationnaire entre les points d’attaches de la corde.

-> L’oscillation forcée : C’est le cas de l’expérience de MELDE : la corde est soumise à un vibreur qui la force a osciller à certaines fréquences. Pour des fréquences particulières, on observe un nombre entier de fuseaux. Ce sont les fréquences propres.

Remarque ce sont les fréquences qui correspondent aux fréquences émises par la corde lorsqu’elle est en oscillation libre.

  Expression de Melde : c=√(F/µ)   F :force Newton et µ : masse linéique corde

La corde est soumise à un vibreur dont on fait varier la fréquences.

On aura un phénomène stable à partir du moment où deux ondes progressives dans le même sens sont en phase. 

C’est à dire lorsque L = nλ/2 : On observera alors des fuseaux bien distincts.

Avec λ = c/f , on trouve les fréquences pour lesquelles on a un phénomène stable :

f_n = n*c/2L

Expression de l’onde aller/retour et de l’onde stationnaire

Onde aller : on retrouve en M la même perturbation qu’au point A mais avec un retard ∆t = x/c  avec c=√(F/µ)

s(M,t) = a cos(ωt – kx) = a cos ω(t – x/c)     avec k=ω/c = 2π/λ

Onde retour : On retrouve en M la même perturbation qu’au point A mais avec un retard ∆t = (2L-x)/c

La condition aux limites impose un nœud de vibration au point B. En ce point, l’onde aller et l’onde retour sont en opposition de phase. La réflexion amène un déphasage de π radian ou un changement de signe de l’expression.

s’(M,t) = -a cos ω(t – (2L-x)/c) = -a cos (ωt – k(2L-x)/c)

On vérifie qu’au point B, x=L          s(B,t) = a cos (ωt –kL)

                                                           s’(B,t) = -a cos (ωt – k(2L-L)/c)

On a donc bien s’(B,t)+s(B,t) = 0

Principe de superposition :

S_T(M,t) = s(M,t) + s’(M,t) = a [cos (ωt – kx) – cos (ωt – k(2L-x)/c)]

cosp – cosq = -2 sin(p-q)/2 x sin(p+q)/2

                                           = -2a sin k(L – x) x sin(ωt – kL)

Le premier terme donne l’amplitude, ou enveloppe, et dépend de la position x

Le second terme est la fonction sinusoïdale qui dépend du temps t.

Analyse:

Enveloppe A= -2a cos k(L-x)

On cherche les positions  pour lesquelles on des NŒUDS de vibration soit  A=0  

sin k(L – x) = 0 => k(L-x) = nπ   2(L – x)/λ = n

soit L – x = n λ/2

On cherche les positions  pour lesquelles on a un VENTRE de vibration, soit A = ± 2a

sin k(L – x) = ±1  si 2π/λ (L – x) = (2n + 1) π/2

soit L – x = (2n + 1) λ/4 : On remarques que les positions sont inversées par rapport à l’onde de pression.

Application : onde stationnaire sur une corde : corrigé exercice 4 vu en cours.

 

a) Y₁ (x,t) et Y₂( x,t)  avec Y₁ (0,t) = A cos ωt et Y₂ (0,t) = A cos (ωt+φ)

Onde 1 :  On retrouve au point M, la même perturbation qu’au point O mais avec un retard : ∆t =x/c

Y₁ (M,t) = A cos (ωt – kx)

Onde 2 : On retrouve au point M, la même perturbation qu’au point O mais avec une avance ∆t = x/c

 Y₂ (M,t) = A cos (ω(t+x/c)+φ)= A cos (ωt + kx + φ)

b) Y₁ (M,t) + Y₂ (M,t) = A[cos (ωt – kx) + cos (ωt + kx + φ)]

                                = 2A cos (kx + φ/2) x cos (ωt + φ/2)

cos (kx +φ/2) = 0 => kx + φ/2 = (2n+1)π/2

 

 

On soumet une corde en tension à un vibreur qui la fait osciller : on est dans le cas d’oscillations forcées.

Pour des fréquences particulières, on observe un nombre entier de fuseaux : on aura un phénomène stable à partir du moment où deux ondes progressives dans le même sens sont en phase.

C’est à dire lorsque L = nλ/2 n : nombre de fuseaux

Avec λ = c/f , on trouve les fréquences pour lesquelles on a un phénomène stable :  f_n = n*c/2L

APPLICATION EXPERIENCE DE MELDE

Une corde de longueur L est fixée, en A, à une lame vibrant à la fréquence de 25 Hz. Elle est tendue en B grâce à une poulie : la tension est égale à 1 Newton. Sa masse linéique est u = 16 10-4 Kg.m-2.

On rappelle que la célérité des ondes sur une corde est c = T / u
La longueur de la corde est L = 1,5 m
La vibration émise par la lame vibrante en A, a pour expression S1 (A , t) = a coswt

1 / Donnez l’expression de l’onde progressive incidente (aller) au point M en fonction de A, w, t, c et de la position de M. Note : on peut choisir de positionner M par rapport à la poulie B, ou par rapport à la lame vibrante A.

2 / On rappelle que la condition aux limites impose un nœud de vibration au niveau de la poulie. Quelle conséquence cela aura sur l’onde retour ?

3 / Donnez l’expression de l’onde progressive réfléchie (retour) au point M en fonction de A, w, t, c et la position de M.

4 / En reprenant l’expression de l’onde progressive aller et l’expression de l’onde progressive retour déterminez l’expression de l’onde résultante au point M.

5 / En réalité, des réflexions multiples se produisent en A et B. Pour quelles valeurs particulières de L obtient-on un phénomène stable ?

6 / Le point M est situé à 50cm de la poulie Quelle sera l’amplitude de vibration au point M ?

7 / De quelle distance minimale du point M obtient-on une vibration maximum (ventre ) ?

8 / On multiplie la tension par 9. Décrire l’aspect de la corde.

On donne
cos p + cos q = 2 cos( p+q )/2.cos( p-q )/2.
cos p – cos q = -2 sin( p+q )/2.sin( p-q )/2.

Textes et exos de Chris_luck 2009.