Analyse du domaine audiofréquence, tempéraments musicaux.
Historique.
Il y a sept notes dans la gamme diatonique (la gamme Ut Majeur) sont très anciens et remonte au chant Grégorien. Leur nom vient de l’hymne à Saint Jean :
Chant Grégorien Basilique St Quentin
(i) UT queant laxis C
(ii) Resonare fibris D
(iii) Mira gestatoris E
(iv) Famuli tuorum F
(v) SOLve polluti G
(vi) Labii reatum A
(vii) Sancte Joannis B
Fréquence notes de musique et tempéraments
Sujet interdisciplinaire par excellence, celui des tempéraments musicaux s’adresse à la fois aux musiciens, aux musicologues, aux mathématiciens et aux acousticiens. Il a été traité par d’Alembert en 1762, dans « éléments de musique suivant les principes de M Rameau ». En musique, la fréquence de référence est le La3 à 440 Hz.
Par définition un intervalle est caractérisé par un rapport entre deux fréquences I = F2/F1
Une octave est l’intervalle de fréquence correspondant à un rapport de 2.
L’octave peut être divisée en 3 : le 1/3 d’octave de rapport 2^1/3
Dans la gamme tempérée l’octave est divisé en douze intervalles égaux : le rapport est de 2^1/12 = 1.059.
Élever une note d’un demi ton c’est la dièser F# = F * 2^1/12
Abaisser une note d’un demi ton c’est la bémoliser Fb = F/ 2^1/12
Sébastien Willart au clavier jazz piano
Au XIXe Mercator propose une autre division des tempéraments.
Dans la gamme de Mercator l’octave est divisée en 53 intervalles égaux appelés « comma ».
Le comma correspond à un rapport de 2^1/53. On fait une distinction entre les ½ T diatoniques valant 4 commas des ½ T chromatiques valant 5 commas. 1 Ton est toujours composé de ½ T diatoniques et de ½ T chromatiques.
Comme on l’enseigne au conservatoire, une octave vaut 5T et 2/2 T diatoniques. 5×9 + 2×4 = 53, le compte y est ! On a bien 53 commas.
Tessiture des voix
Les voix des chanteurs sont classées des plus graves aux plus aigus. On distingue :
Basse du fa1 au fa3 87.3 – 349
Baryton du la1 au la3 110 – 440
Ténor du do2 au do4 130.8 – 523
Soprano du do3 au do5 262 – 1047
Gamme naturelle selon Pythagore.
Dans la gamme naturelle ou gamme de Pythagore, les notes sont des rappels exacts des harmoniques de la fondamentale. Le sol et le mi par exemple correspondent aux harmoniques de rang 3 et 5 ramené à l’octave ou se trouve la fondamentale. On ne fait plus intervenir des puissances ou des log mais des rapports de nombre entiers.
Réflexion. Dans la littérature musicologique on dit que le cycle des douze quintes ne se referme pas : on veut dire par là que les douze quintes « do sol ré la mi si fa# réb lab mib sib fa do » ne correspondront jamais à sept octaves.
Plus exactement les douze quintes sont supérieur aux sept octaves d’un comma pythagoricien ou comma diatonique : (3/2)^12 / 2^7 = 74/73.
APPLICATIONS
Analyse du domaine audiofréquence BTS AV.
On considère trois bandes de fréquences. La première bande est une bande de 1/3 d’octave centrée sur Fc1 = 220 Hz.
Q 1 Montrez que cette première bande, s’étend de f1 = 196 Hz à f2 = 246,9 Hz. Calculez le facteur de qualité Q de cette bande de fréquence.
La deuxième bande de fréquence s’étend de f1 = 392 Hz à f2 = 493,9 Hz.
Q 2 Calculez la fréquence centrale Fc2 de cette bande. Calculez le facteur de qualité Q. Conclusion ?
La troisième bande de fréquence a un ΔF = 152,7 Hz et un facteur de qualité Q égale à 4,318.
Q 3 Calculez la fréquence centrale Fc3 de cette bande. Montrez que les fréquences f1 et f2 délimitant cette bande sont respectivement 587,33 Hz et 740 Hz.
Q 4 Calculez le nombre de ½ Ton compris entre Fc1 et Fc2. Calculez le nombre de ½ Ton compris entre Fc2 et Fc3.
Q 5 A quelles notes de musiques correspondent Fc1 Fc2 et Fc3 ?
Q 6 Sans calculs : à quelles notes de musiques correspondent les fréquences f1 et f2
Pour les trois bandes de fréquences étudiées précédemment ?
On considère un son composé des trois fréquences pures suivantes : 440 Hz, 659,2Hz et 987,8Hz
Q 7 Donnez une représentation spectrale de ce son. Est-ce un son harmonique ? Contient-il des partiels ?
Q 8 Quelle serait la fondamentale de ce son ?
La réponse est simple : les fréquences recherchées correspondent aux La2 la3 Mi3 Si4. Une fondamentale et deux quintes : c’est l’accord de 9e de La, sans la 7e ni la tierce.
L’analyseur de spectre et l’égaliseur graphique.
A partir de la fréquence de 1000 Hz, retrouvez les fréquences correspondant aux trois curseurs situés au dessus et en dessous de cette fréquence. Comparez par rapport aux valeurs normalisées.
Analyse spectrale de bruit blanc.
On effectue l’analyse d’un bruit blanc à l’aide d’un analyseur par bandes de tiers d’octave.
Q 1 Montrez que la première bande centrée sur 25 Hz s’étend de f1 = 22,3 Hz à f2 = 28,0 Hz.
Q 2 Calculez l’étendue f du domaine de fréquence couvert par cette bande.
On note par la suite PW, la puissance correspondant à cette bande.
Q 3 Montrez que la bande centrée sur 20 kHz s’étend de f ‘1 = 17,818 kHz à f ‘2 = 22,449 kHz.
Q 4 Calculez l’étendue f ‘ du domaine de fréquence couvert par cette bande.
On note par la suite P’W, la puissance correspondant à cette bande.
Q 5 Donnez la définition du bruit blanc. Montrez alors que le rapport P’W / PW = 800.
Q 6 Donnez la définition du bruit rose. Montrez alors que si on analyse cette fois un bruit rose, le rapport P’W / PW = 1.
On prendra cette fois la bande centrée sur 50 Hz. On note par la suite P’W, la puissance correspondant à cette bande pour le bruit blanc.
Q 7 Montrez que le rapport P’W / PW = 2.
Texte et photos : Chris_luck 2009
