Fourier sons purs sons complexes

Sons purs, sons complexes

À chaque signal sonore correspond une forme d’onde particulière qui peut être
transposée graphiquement pour illustrer son évolution dans le temps. Un diapason, génère un son pur sinusoïdal composé d’une seule fréquence. Un son pur ne contient donc qu’une seule fréquence. Il est représenté par une fonction sinusoïdale. s(t) = A*cos(2πft)

Un son sinusoïdal généré par un haut-parleur alimenté par un Générateur Basse Fréquence est un son pur par exemple. Mais la majorité des sons dans la nature contiennent une multitude de fréquences: ce sont des sons complexes. Parmi les sons complexe il faut distinguer les sons périodiques qui correspondent aux sons musicaux et les sons aléatoires qui correspondent aux bruits.

La loi de Fourier

Joseph Fourier, un français originaire de Grenoble vivant à la fin du XVIIIe a montré qu’un signal périodique peut se décomposer en une somme de signaux purs (fonctions sinusoïdales). Cela veut dire que tout son musical peut se ramener en une somme de sons purs.

Tous les sons complexes périodiques peuvent donc se décomposer en une somme de sons purs
dont les fréquences sont des multiples entiers de la fréquence la plus basse f, 2f, 3f…
C’est ce qu’on appelle la décomposition en série de Fourier :

Si le signal s(t) est périodique, avec T sa période et f = 1/T sa fréquence, on peut écrire :

s(t) = a0 + a1cos(2π.f.t) + a2cos(2π.2f.t) + … + ancos(2π.nf.t) + b1sin(2π.f.t) + b2sin(2π.2f.t) + … + bncos(2π.nf.t)

• la fréquence la plus basse est appelée « fondamentale » ou « harmonique de rang 1 ».
• les fréquences multiples sont appelées « harmoniques de rang 1,2,3… » (2f, 3f, 4f…) ou « partiels harmoniques ».
• les fréquences qui ne font pas partie de la série harmonique ( 9/8f, 5/3f….) sont
appelées « partiels inharmoniques ».

La série de Fourier

Fourier nous donne les expressions mathématiques permettant de calculer les amplitudes a0,a1, a2… b1, b2… des différentes sinusoïdales (cosinus et sinus). Il montre aussi que ces coefficients forment une série trigonométrique convergente. En sommant les fonctions sinusoïdales dans l’expression jusqu’à l’infini tend vers le signal d’origine. Comme il n’est pas possible d’écrire des expressions comprenant des intégrales dans ce blog, voici ci-dessous les expressions de Fourier (document acoustique, Le Mans Université) :

En prenant les expressions de Fourier, il est possible de calculer les amplitudes des harmoniques d’un signal en dent de scie ou d’un signal rectangulaire. Le signal en dent de scie comprend toutes les harmoniques : l’amplitude de celles-ci décroît en 1/n. Le signal rectangulaire peut être obtenu par l’addition de fréquences harmoniques impaires : f, 3f, 5f, 7f… toujours avec cette décroissance en 1/n. Ces deux signaux sont très utilisés en synthèse sonore comme signaux de base.

Comme nous l’avons vu, l’ensemble des sons musicaux sont périodiques, on peut donc les décomposer en une somme de sinusoïdes selon Fourier avec une fondamentale et des harmoniques. Cependant, beaucoup de sons musicaux contiennent un temps d’attaque qui ne correspond pas à un son décomposable en harmoniques comme l’attaque de l’archet sur un violon le marteau qui frappe les cordes d’un piano. Le son s’apparente au bruit, sans hauteur définie. On peut voir aussi apparaître des harmoniques qui ne sont pas des multiples entiers de la fondamentales : elles sont appelées partiels ou partiels non harmoniques. A partir du moment où il n’y a pas de fréquences plus importantes que les autres, il n’y a pas de hauteur définie, il s’agit donc de bruit. Pour analyser ces phénomène on préfère utiliser le sonogramme.

Le timbre qu’est-ce que c’est ?

C’est le timbre qui permet de différencier un son de même hauteur (un La3 de 440Hz par exemple) joué par un piano ou un violon. Le timbre est le mélange des diverses fréquences à des intensités différentes correspondant aux harmoniques. Il dépend de l’intensité du fondamental et des harmoniques de la présence ou l’absence de certaines harmoniques l’évolution celles-ci au cours du temps.Par exemple, la clarinette, certains jeux d’orgues favorisent les harmoniques impaires d’autres instruments comme le hautbois les harmoniques paires.

Bruit blanc et bruit rose

La décomposition spectrale d’un bruit nous donne des composantes quelconques : il n’y a ni harmoniques, ni partiels et pas de lien entre les fréquences. Il existe deux bruits particuliers :

Le bruit blanc : comme la lumière blanche qui est un mélange de toutes les
couleurs, il est composé de toutes les fréquences. Le bruit blanc contient la même énergie par bandes Δf de fréquences égales. Le Δf doublant d’un octave à l’autre, l’énergie croît
linéairement de 3 dB par octave.
Le bruit rose est composé également de toutes les fréquences, mais il contient la même énergie par intervalles de fréquences égaux c’est-à-dire la même énergie pour des rapport de fréquence f2/f1 égaux.

Ces bruits peuvent être utilisés comme source sonore pour mesurer les performances acoustiques des salles ou en sonorisation pour ajuster les enceintes acoustiques aux locaux d’écoute (bruit rose).

Enveloppe ADSR

L’enveloppe dynamique d’un signal musical comprend d’abord un temps d’attaque « Attack » : l’attaque décrit la durée nécessaire pour atteindre le niveau maximal. Le rôle de l’attaque est primordial, en particulier dans la formation du timbre. Le contenu spectral des transitoires d’attaque se rapproche de celui d’un bruit. La suppression de l’attaque d’un instrument rend difficile sa reconnaissance. Le « Decay » correspond à la chute après l’attaque, il indique la durée nécessaire pour redescendre jusqu’à la phase d’entretien. Le « Sustain » ou entretien correspond au niveau conservé tant que l’instrumentiste joue ou que la touche est maintenue enfoncée. Généralement le son est harmonique pendant cette période. Le mode d’extinction ou « Release » indique la durée nécessaire pour que le son disparaisse. Il correspond à la résonance.

D’autres éléments seront vus en cours.

© Chris luck 2010 et 2016